充要條件：設(shè)有一數(shù)列{Xn}，該數(shù)列收斂的充分必要條件是：對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，存在著這樣的正整數(shù)N，使得當(dāng)m>n>N時(shí)就有|Xn-Xm|<ε等。

1）數(shù)列收斂的基本定義

設(shè){Xn}為一已知數(shù)列，A是一個(gè)常數(shù)。如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在一個(gè)正整數(shù)N=N(ε)，使得當(dāng)n>N時(shí)，有|Xn-A|<ε，則稱數(shù)列{Xn}當(dāng)n趨于無窮時(shí)以A為極限，或稱數(shù)列{Xn}收斂于A。

2）夾擠定理

如果有三個(gè)數(shù)列{Pn}{Xn}{Qn}。且當(dāng)n足夠大以后，滿足條件Pn≤Xn≤Qn。如果當(dāng)n趨于無窮時(shí)，{Pn}和{Qn}都收斂于A，那么數(shù)列{Xn}也收斂于A。

3）單調(diào)有界原理

任何單調(diào)（單調(diào)遞增或遞減）且有界的數(shù)列都收斂。

4）柯西收斂準(zhǔn)則

設(shè)有一數(shù)列{Xn}，該數(shù)列收斂的充分必要條件是：對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，存在著這樣的正整數(shù)N，使得當(dāng)m>n>N時(shí)就有|Xn-Xm|<ε