兀是無(wú)理數(shù)還是有理數(shù)怎么證明
發(fā)布時(shí)間：2025-04-17 閱讀：
摘要：π是無(wú)理數(shù)。因?yàn)?，根?jù)有理數(shù)的定義：有理數(shù)是一個(gè)整數(shù)a和一個(gè)正整數(shù)b的比，例如3/8，通則為a/b。有理數(shù)的小數(shù)部分是有限或?yàn)闊o(wú)限循環(huán)的數(shù)。而π=3.1415926...是無(wú)限
π是無(wú)理數(shù)。因?yàn)?，根?jù)有理數(shù)的定義：有理數(shù)是一個(gè)整數(shù)a和一個(gè)正整數(shù)b的比，例如3/8，通則為a/b。有理數(shù)的小數(shù)部分是有限或?yàn)闊o(wú)限循環(huán)的數(shù)。而π=3.1415926...是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不在有理數(shù)的范圍。
假設(shè)π是有理數(shù)，則π=a/b，（a,b為自然數(shù)）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0 0 0 以上兩式相乘得： 0 當(dāng)n充分大時(shí)，,在[0，π]區(qū)間上的積分有 0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1） 又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)) 由于n!f(x)是x的整系數(shù)多項(xiàng)式，且各項(xiàng)的次數(shù)都不小于n，故f(x)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0點(diǎn)處的值也都是整數(shù)，因此，F(xiàn)(x)和F(π)也都是整數(shù)。 又因?yàn)?/p> d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx =F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx =F"(x)sinx+F(x)sinx =f(x)sinx 所以有： ∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此處上限為π，下限為0） =F(π)+F(0) 上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]區(qū)間上的積分為整數(shù)，這與（1）式矛盾。所以π不是有理數(shù)，又它是實(shí)數(shù)，故π是無(wú)理數(shù)。 圓周率是表示圓的周長(zhǎng)與直徑比值的數(shù)學(xué)常數(shù)，用希臘字母π表示。π也等于圓形之面積與半徑平方之比，近似值約等于3.14159265359，是精確計(jì)算圓周長(zhǎng)、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵值，在分析學(xué)里，π可以嚴(yán)格地定義為滿(mǎn)足sinx=0的最小正實(shí)數(shù)x。
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馬上畢業(yè)是選復(fù)讀還是選擇職校呢?
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你們知道到底什么是職校嗎?
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